7. Zadatak

Dva pravokutna trokuta $PST$ i $RST$ imaju zajedničku hipotenuzu $\overline{ST}$ . Vrhovi $P$ i $R$ nalaze se s iste strane hipotenuze $\overline{ST}$ . Katete $\overline{PT}$ i $\overline{RS}$ sijeku se u točki $Q$ . Ako je $|PS|=6$ cm, $|PT|=17$ cm i $|RT|=1$ cm, kolika je površina trokuta $QST$ ?

Rješenje

Prvo rješenje.

Dva pravokutna trokuta sa zajedničkom hipotenuzom

Označimo površinu trokuta $QST$ s $P_1$ , površinu $PSQ$ s $P_2$ i površinu trokuta $RQT$ s $P_3$ .

Kako je trokut $PST$ pravokutan, primjenom Pitagorina poučka dobivamo:

|ST|^2=|PS|^2+|PT|^2=36+289=325.

Primijenimo li Pitagorin poučak na trokut $RST$ slijedi

|RS|=\sqrt{|ST|^2-|RT|^2}=\sqrt{325-1}=\sqrt{324}=18\ \mathrm{cm}.

Trokut $PST$ sastoji se od trokuta $PSQ$ i $QST$ pa je površina trokuta $PST$ jednaka

P_1+P_2=\frac{|PS|\cdot|PT|}{2}=\frac{6\cdot17}{2}=51\ \mathrm{cm}^2.

Trokut $RST$ sastoji se od trokuta $RQT$ i $QST$ pa je površina trokuta $RST$ jednaka

P_1+P_3=\frac{|RT|\cdot|RS|}{2}=\frac{1\cdot18}{2}=9\ \mathrm{cm}^2.

Trokuti $PQS$ i $RQT$ su pravokutni, s pravim kutom u vrhu $P$ odnosno u vrhu $R$ te je $|\angle PQS|=|\angle RQT|$ .

Prema KK poučku o sličnosti slijedi da su trokuti $PQS$ i $RQT$ slični, s koeficijentom sličnosti $k=\dfrac{|RT|}{|PS|}=\dfrac16$ .

Stoga je $\dfrac{P_3}{P_2}=k^2=\left(\dfrac16\right)^2$ tj. $P_3=\dfrac1{36}P_2$ .

Konačno, rješavanjem sustava jednadžbi

\begin{cases} P_1+P_2=51,\\ P_1+P_3=9,\\ P_3=\dfrac1{36}P_2 \end{cases}

dobivamo da je $P_1=\dfrac{39}{5}$ .

Dakle, tražena površina je $\dfrac{39}{5}\ \mathrm{cm}^2$ .

Drugo rješenje.

Uz oznake kao u prvom rješenju, primijenimo li Pitagorin poučak na trokute $PST$ i $RST$ dobivamo:

|ST|^2=|PS|^2+|PT|^2=36+289=325

|RS|=\sqrt{|ST|^2-|RT|^2}=\sqrt{325-1}=\sqrt{324}=18\ \mathrm{cm}.

Trokuti $PQS$ i $RQT$ su pravokutni, s pravim kutom u vrhu $P$ odnosno u vrhu $R$ te je $|\angle PQS|=|\angle RQT|$ .

Stoga, prema KK poučku o sličnosti slijedi da su trokuti $PQS$ i $RQT$ slični, s koeficijentom sličnosti $k=\dfrac{|RT|}{|PS|}=\dfrac16$ .

Stoga je

\frac{|TQ|}{18-|RQ|}=\frac16\qquad\text{i}\qquad\frac{|RQ|}{17-|TQ|}=\frac16.

Rješavanjem ovog sustava dobivamo $|RQ|=\dfrac{12}{5}$ cm.

Dakle, površina trokuta $RQT$ je $P_3=\dfrac{|RT|\cdot|RQ|}{2}=\dfrac{1\cdot\frac{12}{5}}2=\dfrac65\ \mathrm{cm}^2$ .

Kako je $P_3+P_1=\dfrac{|RT|\cdot|RS|}{2}=\dfrac{1\cdot18}{2}=9$ , slijedi da je $P_1=9-P_3=9-\dfrac65=\dfrac{39}{5}\ \mathrm{cm}^2$ .

Treće rješenje.

Dva pravokutna trokuta i njihove visine

Uz oznake kao u prvom rješenju, primijenimo li Pitagorin poučak na trokute $PST$ i $RST$ dobivamo:

|ST|^2=|PS|^2+|PT|^2=36+289=325

|RS|=\sqrt{|ST|^2-|RT|^2}=\sqrt{325-1}=\sqrt{324}=18\ \mathrm{cm}.

Izračunajmo duljinu visine $|PM|$ na hipotenuzu u trokutu $PST$ .

|PM|=\frac{|PS|\cdot|PT|}{|ST|}=\frac{102}{5\sqrt{13}}.

Neka je $v$ visina trokuta $QST$ . Primijenimo li Talesov poučak o proporcionalnosti odsječaka paralelnih pravaca unutar kuta $\angle PTS$ dobivamo:

\frac{|TQ|}{v}=\frac{|PT|}{|PM|}=\frac{17}{\frac{102}{5\sqrt{13}}}=\frac{5\sqrt{13}}6,

odnosno

v=\frac{6|TQ|}{5\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{65}|TQ|.

Nadalje, trokuti $RQT$ i $PQS$ su slični po KK poučku o sličnosti pa vrijedi:

\frac{|SQ|}{|TQ|}=\frac61,

\frac{17-|TQ|}{18-|SQ|}=\frac61.

Rješavanjem ovog sustava jednadžbi dobivamo da je $|TQ|=\dfrac{13}{5}$ cm.

Tada je

v=\frac{6\sqrt{13}}{65}|TQ|=\frac{6\sqrt{13}}{25}\ \mathrm{cm}.

Tražena površina trokuta $QST$ jednaka je

P=\frac{|ST|\cdot v}{2}=\frac{5\sqrt{13}}2\cdot\frac{6\sqrt{13}}{25}=\frac{39}{5}\ \mathrm{cm}^2.

Analogno se dobije tražena površina ako se primijeni Talesov poučak na kut $TSR$ i izračuna duljina visine na hipotenuzu u trokutu $RST$ koja iznosi $\dfrac{18}{5\sqrt{13}}$ .