2. Zadatak

Zadani izraz možemo zapisati kao

$$3^{\frac1{55}+\frac4{55}+\frac7{55}+\ldots+\frac{3m-2}{55}}>729=3^6.$$

Kako je baza veća od $1$ za eksponente vrijedi

$$\frac1{55}+\frac4{55}+\frac7{55}+\ldots+\frac{3m-2}{55}>6,$$

odnosno

$$1+4+7+\ldots+3m-2>330.$$

Na lijevoj strani je zbroj $m$ članova aritmetičkog niza i jednak je

$$S_m=\frac{m(1+3m-2)}2=\frac{m(3m-1)}2$$

pa gornja nejednadžba prelazi u

$$\frac{m(3m-1)}2>330,$$

odnosno $3m^2-m-660>0$.

Rješenje ove nejednadžbe je skup $\left\langle-\infty,-\dfrac{44}{3}\right\rangle\cup\langle15,\infty\rangle$.

Najmanji prirodni broj iz tog skupa je broj $16$.