6. Zadatak

Neka je

$$z=\frac{-\sqrt2+i\sqrt2}{2\cos\frac\pi8-2i\sin\frac\pi8}.$$

Trigonometrijski prikaz brojnika broja $z$ je

$$-\sqrt2+i\sqrt2=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right),$$

a nazivnika

$$\begin{aligned} 2\cos\frac\pi8-2i\sin\frac\pi8 &=2\left(\cos\left(-\frac\pi8\right)+i\sin\left(-\frac\pi8\right)\right)\\ &=2\left(\cos\frac{15\pi}{8}+i\sin\frac{15\pi}{8}\right). \end{aligned}$$

Tada je

$$\begin{aligned} z&=\cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{15\pi}{8}\right) +i\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{15\pi}{8}\right)\\ &=\cos\frac{7\pi}{8}+i\sin\frac{7\pi}{8}. \end{aligned}$$

Tada je

$$z^n=\cos\frac{7\pi n}{8}+i\sin\frac{7\pi n}{8}.$$

Ovaj je broj realan ako je $\sin\left(\dfrac{7\pi n}{8}\right)=0$, odnosno ako je $\dfrac{7\pi n}{8}=k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Slijedi $n=\dfrac{8k}{7}$, $k\in\mathbb Z$.

Budući da je $n$ prirodan broj $k$ mora biti pozitivan višekratnik broja $7$, a $n$ višekratnik broja $8$, tj. $n\in\{8,16,24,\ldots,2016\}$.

Konačno, traženih prirodnih brojeva $n$ ima $252$.