1. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbog definicije binomnih koeficijenata mora vrijediti $x-1\ge3$, odnosno $x\ge4$.

Koristeći svojstvo binomnih koeficijenata $\binom nk=\binom n{n-k}$ zapisat ćemo danu jednadžbu u obliku:

$$\binom{x+1}{x+1-x+2}+2\binom{x-1}{3}=7(x-1),$$

odnosno

$$\binom{x+1}{3}+2\binom{x-1}{3}=7(x-1).$$

Primjenom pravila za računanje binomnih koeficijenata dobivamo

$$\frac{(x+1)x(x-1)}6+2\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}6=7(x-1),$$

a nakon dijeljenja s $(x-1)\ne0$ slijedi

$$\frac{(x+1)x}6+2\frac{(x-2)(x-3)}6=7.$$

Ova se jednadžba svodi na kvadratnu $x^2-3x-10=0$, čija su rješenja $x_1=5$, $x_2=-2$.

Zbog početnih uvjeta rješenje zadane jednadžbe je $x=5$.

Drugo rješenje.

Zbog definicije binomnih koeficijenata mora vrijediti $x-1\ge3$, odnosno $x\ge4$.

Koristeći definiciju binomnih koeficijenata $\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ zapisat ćemo danu jednadžbu u obliku:

$$\frac{(x+1)!}{(x-2)!3!}+2\frac{(x-1)!}{3!(x-4)!}=7(x-1).$$

Nakon skraćivanja dobivamo

$$\frac{(x+1)x(x-1)}6+2\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}6=7(x-1).$$

Nakon dijeljenja s $(x-1)\ne0$ slijedi

$$\frac{(x+1)x}6+2\frac{(x-2)(x-3)}6=7.$$

Ova se jednadžba svodi na kvadratnu $x^2-3x-10=0$, čija su rješenja $x_1=5$, $x_2=-2$.

Zbog početnih uvjeta rješenje zadane jednadžbe je $x=5$.