7. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako su $a$, $b$, $c$ uzastopni članovi geometrijskog niza, vrijedi

$$b^2=ac. \tag{*}$$

Jednakost $a+b+c=\dfrac73$ možemo pisati kao $a+c=\dfrac73-b$ i kvadrirati. Tada je

$$(a+c)^2=\left(\frac73-b\right)^2,$$

odnosno

$$a^2+c^2+2ac=\frac{49}{9}-\frac{14}{3}b+b^2.$$

Iz zadane jednakosti $a^2+b^2+c^2=\dfrac{91}{9}$ izrazimo $a^2+c^2=\dfrac{91}{9}-b^2$ i uvrstimo u posljednju jednakost. Također, primijenimo jednakost $(*)$.

Slijedi:

$$\frac{91}{9}-b^2+2b^2=\frac{49}{9}-\frac{14}{3}b+b^2,$$

odnosno

$$\frac{14}{3}b=\frac{49}{9}-\frac{91}{9}=-\frac{42}{9}$$

pa je $b=-1$.

Preostaje riješiti sustav

$$\begin{aligned} a+c&=\frac{10}{3},\\ ac&=1. \end{aligned}$$

Sustav se svodi na kvadratnu jednadžbu $3a^2-10a+3=0$ (ili $3c^2-10c+3=0$) kojoj su rješenja $a=3$ i $a=\dfrac13$, a tada su rješenja sustava $(3,\dfrac13)$, $(\dfrac13,3)$.

Konačno $a=3$, $b=-1$, $c=\dfrac13$ ili $a=\dfrac13$, $b=-1$, $c=3$.

Drugo rješenje.

Neka je $q$ kvocijent geometrijskog niza $a$, $b$, $c$. Tada je $b=aq$, $c=aq^2$, a zadane jednakosti prelaze u:

$$a+aq+aq^2=\frac73,$$ $$a^2+a^2q^2+a^2q^4=\frac{91}{9}.$$

Izlučimo u prvoj jednakosti $a$, a u drugoj $a^2$. Slijedi

$$a(1+q+q^2)=\frac73,$$ $$a^2(1+q^2+q^4)=\frac{91}{9}.$$

Ako iz prve jednadžbe izrazimo $a$ i uvrstimo u drugu jednadžbu slijedi

$$\frac{49}{9(1+q+q^2)^2}(1+q^2+q^4)=\frac{91}{9},$$

odnosno

$$\frac{1+q^2+q^4}{(1+q+q^2)^2}=\frac{13}{7}.$$

Brojnik možemo faktorizirati:

$$1+q^2+q^4=(1+q^2)^2-q^2=(1+q^2-q)(1+q^2+q).$$

Tada gornja jednadžba nakon skraćivanja prelazi u

$$\frac{1-q+q^2}{1+q+q^2}=\frac{13}{7},$$

odnosno kvadratnu jednadžbu

$$3q^2+10q+3=0.$$

Njezina su rješenja $q=-3$ i $q=-\dfrac13$. Tada je

Za $q=-3$ slijedi $a=\dfrac{7}{3(1+q+q^2)}=\dfrac13$, $b=\dfrac13\cdot(-3)=-1$, $c=3$.

Za $q=-\dfrac13$ slijedi $a=3$, $b=3\cdot\left(-\dfrac13\right)=-1$, $c=\dfrac13$.

Napomena.

Ako učenik faktorizacijom ne pojednostavi dobivenu jednadžbu za $q$, dobit će nakon sređivanja simetričnu jednadžbu

$$3q^4+13q^3+16q^2+13q+3=0.$$

Tada je postupak sljedeći:

$$3q^4+3+13q^3+13q+16q^2=0\quad/:q^2,$$ $$3q^2+\frac3{q^2}+13q+\frac{13}{q}+16=0,$$ $$3\left(q^2+\frac1{q^2}\right)+13\left(q+\frac1q\right)+16=0.$$

Uvodimo supstituciju $q+\dfrac1q=t$, odnosno $q^2+\dfrac1{q^2}=t^2-2$. Slijedi jednadžba

$$3t^2+13t+10=0$$

čija su rješenja $t=-\dfrac{10}{3}$ i $t=-1$.

Za $t=-1$ jednadžba $q+\dfrac1q=t$ nema rješenja. Za $t=-\dfrac{10}{3}$ dobivamo rješenja $q=-3$ i $q=-\dfrac13$.