3. Zadatak

Imamo:

$$\begin{aligned} \frac{n^4}{24}+\frac{n^3}4+\frac{11n^2}{24}+\frac n4&=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\\ &=\frac{n(n^3+6n^2+11n+6)}{24}=\frac{n(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6)}{24}\\ &=\frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{24}=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}. \end{aligned}$$

Brojnik $A=n(n+1)(n+2)(n+3)$ je produkt četiri uzastopna prirodna broja.

Od četiri uzastopna prirodna broja dva su djeljiva s 2, a jedan od njih s 4. To znači da je $A$ djeljivo s 8.

Od tri uzastopna prirodna broja jedan je djeljiv s 3.

Dakle, $A$ je djeljiv s 8 i s 3 tj. $A$ je djeljiv s $8\cdot3=24$.

Napomena. Moguće je i metodom matematičke indukcije dokazati $24\mid n(n+1)(n+2)(n+3)$.