1. Zadatak

Promatrani izraz $x^2+y^2$ izražavamo pomoću $a$:

$$\begin{aligned}x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy\\&=(a-1)^2-2(a^2-7a+12)\\&=-a^2+12a-23.\end{aligned}$$

Kvadratni izraz $-a^2+12a-23$ poprima najveću vrijednost za $a=\frac{-12}{2\cdot(-1)}=6$. Tada je $x^2+y^2=-36+72-23=13$.

Odredimo sada brojeve $x$ i $y$. Iz uvjeta dobivamo: $x+y=5$ i $xy=6$. Traženi brojevi su rješenja kvadratne jednadžbe $t^2-5t+6=0$, odakle slijedi $x=2$ i $y=3$ ili $x=3$ i $y=2$.

Napomena. Zbroj čiji maksimum treba odrediti može se i odrediti i na ovaj način.

Iz $y=(a-1)-x$ slijedi

$$x((a-1)-x)=a^2-7a+12,\quad\text{tj.}$$ $$x^2-(a-1)x+a^2-7a+12=0.$$

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su izrazi za $x$ i $y$, tj.

$$x=\frac{a-1\pm\sqrt{-3a^2+26a-47}}2,\quad y=\frac{a-1\mp\sqrt{-3a^2+26a-47}}2.$$

Sada se dobije $x^2+y^2=-a^2+12a-23$.