5. Zadatak

Danu sumu možemo zapisati u obliku

$$A=\frac1{2\cdot\sqrt1+1\cdot\sqrt2}+\frac1{3\cdot\sqrt2+2\cdot\sqrt3}+\ldots+\frac1{100\cdot\sqrt{99}+99\cdot\sqrt{100}}.$$

Opći član, počevši od drugog, je

$$\begin{aligned} \frac1{(n+1)\sqrt n+n\sqrt{n+1}}&=\frac1{(n+1)\sqrt n+n\sqrt{n+1}}\cdot\frac{(n+1)\sqrt n-n\sqrt{n+1}}{(n+1)\sqrt n-n\sqrt{n+1}}\\ &=\frac{(n+1)\sqrt n-n\sqrt{n+1}}{(n+1)^2n-n^2(n+1)}=\frac{(n+1)\sqrt n-n\sqrt{n+1}}{n^3+2n^2+n-n^3-n^2}\\ &=\frac{(n+1)\sqrt n-n\sqrt{n+1}}{n(n+1)}=\frac{\sqrt n}n-\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}\\ &=\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}}. \end{aligned}$$

Sada je

$$\begin{aligned} A&=1-\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt3}+\frac1{\sqrt3}-\frac1{\sqrt4}+\ldots+\frac1{\sqrt{98}}-\frac1{\sqrt{99}}+\frac1{\sqrt{99}}-\frac1{\sqrt{100}}\\ &=1-\frac1{10}=\frac9{10}. \end{aligned}$$

Dakle, dani broj je racionalan.

Napomena. Učenik može raspisati nekoliko prvih članova u zbroju i uočiti danu pravilnost.