2. Zadatak

Ako početne brojeve označimo $x,y,z$, uvedimo $a=x+y$ i $b=xy$. Tada je

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy, \qquad x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).$$

Polazni sustav zato daje

$$a+z=2, \qquad a^2-2b+z^2=6, \qquad a^3-3ab+z^3=8.$$

Iz prve jednadžbe je $z=2-a$, pa preostale dvije postaju

$$a^2-2b+4-4a+a^2=6,$$

odnosno

$$a^3-3ab+8-12a+6a^2-a^3=8.$$

Sređivanjem dobivamo

$$a^2-2a-b=1, \qquad 3a(2a-4-b)=0.$$

Druga jednadžba daje nam dva slučaja.

1. slučaj.

Ako je $a=0$, tada je $z=2$ i $b=-1$. Sada rješavamo sustav

$$x+y=0,\qquad xy=-1.$$

Njegova su rješenja $x=1,y=-1$ i $x=-1,y=1$, pa dobivamo uređene trojke $(1,-1,2)$ i $(-1,1,2)$.

2. slučaj.

Ako je $2a-4-b=0$, tada je $b=2a-4$. Uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo

$$a^2-4a+3=0.$$

Rješenja su $a_1=1$, za koje je $z=1$, $b=-2$, i $a_2=3$, za koje je $z=-1$, $b=2$.

Za $a=1$ rješavamo sustav

$$x+y=1,\qquad xy=-2.$$

Njegova su rješenja $(x,y)=(-1,2)$ i $(2,-1)$, pa su pripadne trojke $(-1,2,1)$ i $(2,-1,1)$.

Za $a=3$ rješavamo sustav

$$x+y=3,\qquad xy=2.$$

Njegova su rješenja $(x,y)=(2,1)$ i $(1,2)$, pa su pripadne trojke $(2,1,-1)$ i $(1,2,-1)$.

Konačno, uređene trojke su

$$(x,y,z)\in\{(1,-1,2),(-1,1,2),(-1,2,1),(2,-1,1),(1,2,-1),(2,1,-1)\}.$$

Za svaku od njih zbroj $n$-tih potencija iznosi

$$1^n+(-1)^n+2^n= \begin{cases} 2^n,&n\text{ neparan},\\ 2+2^n,&n\text{ paran}. \end{cases}$$

Zato za $n=2017$ dobivamo baš $2^{2017}$. Jure će odgovoriti: da, za $n=2017$.