5. Zadatak

Dijagonale deltoida međusobno su okomite, pa je

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0 &\Longleftrightarrow (5a+4)\cdot4a-5a(2a+4)=0\\ &\Longleftrightarrow 10a^2-4a=0. \end{aligned}$$

Budući da je $a\ne0$, dobivamo $a=\frac25$. Tada je

$$\overrightarrow{AC}=6\vec i-2\vec j, \qquad \overrightarrow{BD}=\frac85\vec i+\frac{24}5\vec j.$$

Iz $A(-1,2)$ slijedi $C(5,0)$, a iz $D(1,4)$ slijedi

$$1-x_B=\frac85,\qquad 4-y_B=\frac{24}5,$$

pa je

$$B\left(-\frac35,-\frac45\right).$$

Nadalje treba provjeriti je li deltoid tetivni. Vrijedi

$$\begin{aligned} \overrightarrow{BA}&=-\frac25\vec i+\frac{14}5\vec j, &\overrightarrow{BC}&=\frac{28}5\vec i+\frac45\vec j,\\ \overrightarrow{DA}&=-2\vec i-2\vec j, &\overrightarrow{DC}&=4\vec i-4\vec j. \end{aligned}$$

Zato je

$$\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=-8+8=0, \qquad \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac{56}{25}+\frac{56}{25}=0.$$

Dakle, $\angle ADC=90^\circ=\angle ABC$, pa je $\angle ADC+\angle ABC=180^\circ$. Četverokut $ABCD$ je tetivan, odnosno svi vrhovi leže na jednoj kružnici. U tom je slučaju najmanji otpad.

Jednadžbu opisane kružnice možemo dobiti kroz točke $A,C,D$, a zatim provjeriti pripada li joj i točka $B$. Njezino je središte $S(2,1)$, a

$$r^2=\frac{36+4}{4}=10.$$

Jednadžba kružnice jest

$$\boxed{(x-2)^2+(y-1)^2=10}.$$

Zmaj se, dakle, može izrezati iz papira kružnog oblika.