1. Zadatak

Zapišimo nejednadžbu u obliku

$$-2\log_5\left(7^{2\sqrt{x^2-2}}-1\right)+\log_5\left(7^{2\sqrt{x^2-2}}+\frac15\right)\le -1.$$

Uvedimo $t=7^{2\sqrt{x^2-2}}$, $t>0$. Uvjeti definiranosti daju $t-1>0$ i $t+\frac15>0$, pa je

$$t>1. \tag{*}$$

Tada je

$$\begin{aligned} -2\log_5(t-1)+\log_5\left(t+\frac15\right)&\le-1\\ \log_5\left(t+\frac15\right)+\log_5 5&\le\log_5(t-1)^2\\ \log_5\left[5\left(t+\frac15\right)\right]&\le\log_5(t-1)^2\\ 5t+1&\le t^2-2t+1\\ t^2-7t&\ge0. \end{aligned}$$

Rješenja su $t\in(-\infty,0]\cup[7,\infty)$, a zbog $(*)$ ostaje $t\ge7$. Vraćanjem na $x$ dobivamo

$$7^{2\sqrt{x^2-2}}\ge7,$$

pa je $|x|\ge\sqrt2$ i

$$2\sqrt{x^2-2}\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2\ge\frac14 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge\frac32.$$

Ovaj uvjet ujedno zadovoljava početnu domenu. Zato je skup rješenja

$$\boxed{(-\infty,-\tfrac32]\cup[\tfrac32,+\infty)}.$$