4. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvedimo oznake: $a$ je duljina stranice kvadrata, $x=|DR|$, $y=|PB|$, $p=|CP|$ i $\alpha=\angle DCP$.

U pravokutnom trokutu $CDR$ vrijedi

$$\tg\frac\alpha2=\frac xa, \qquad x=a\tg\frac\alpha2.$$

Nadalje je $\angle CPB=\angle DCP=\alpha$ (kutovi uz transverzalu), pa u pravokutnom trokutu $PBC$ vrijedi

$$\tg\alpha=\frac ay, \qquad y=\frac a{\tg\alpha}, \qquad \sin\alpha=\frac ap, \qquad p=\frac a{\sin\alpha}.$$

Koristeći univerzalnu supstituciju $t=\tg(\alpha/2)$, odnosno

$$\tg\alpha=\frac{2t}{1-t^2}, \qquad \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2},$$

dobivamo

$$\begin{aligned} |DR|+|PB|=x+y &=at+\frac a{2t/(1-t^2)}\\ &=a\left(t+\frac{1-t^2}{2t}\right)\\ &=a\frac{1+t^2}{2t}=\frac a{\sin\alpha}=p=|CP|. \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Računamo kao i u prvom rješenju, ali bez univerzalne supstitucije i uz iste oznake:

$$\begin{aligned} |DR|+|PB|=x+y &=a\tg\frac\alpha2+\frac a{\tg\alpha}\\ &=a\frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}+a\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\ &=a\frac{2\sin^2(\alpha/2)+\cos^2(\alpha/2)-\sin^2(\alpha/2)}{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}\\ &=a\frac{\cos^2(\alpha/2)+\sin^2(\alpha/2)}{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}\\ &=\frac a{\sin\alpha}=p=|CP|, \end{aligned}$$

što je i trebalo dokazati.