6. Zadatak

Prvo rješenje.

Dani troznamenkasti broj zapisujemo u obliku $\overline{a9b}$. Budući da su $a$ i $b$ znamenke različite od $0$ i zbroj znamenaka je djeljiv sa $6$, a manji od $27$ vrijedi

$$a+9+b\in\{12,18,24\},\quad\text{odnosno}\quad a+b\in\{3,9,15\}. \tag{$\star$}$$

Nadalje, prema uvjetu iz zadatka vrijedi $\overline{b9a}=2\cdot\overline{a9b}-99$, odnosno

$$\begin{aligned} 100b+90+a&=2(100a+90+b)-99,\\ 199a-98b&=9. \tag{$\star\star$} \end{aligned}$$

Prema $(\star)$ imamo tri mogućnosti:

$$b=3-a \quad\text{ili}\quad b=9-a \quad\text{ili}\quad b=15-a.$$

Provjerimo sve tri uvrštavanjem u $(\star\star)$.

Ako je $b=3-a$, tada je redom:

$$\begin{aligned} 199a-98(3-a)&=9\\ 199a-294+98a&=9\\ 297a&=303. \end{aligned}$$

Ova jednadžba očito nema cjelobrojno rješenje.

Ako je $b=9-a$, tada je redom:

$$\begin{aligned} 199a-98(9-a)&=9\\ 199a-882+98a&=9\\ 297a&=891\\ \Rightarrow\quad a&=3,\quad b=9-3=6. \end{aligned}$$

Ako je $b=15-a$, tada je redom:

$$\begin{aligned} 199a-98(15-a)&=9\\ 199a-1470+98a&=9\\ 297a&=1479. \end{aligned}$$

Posljednja jednadžba nema cjelobrojno rješenje jer je lijeva strana djeljiva s $9$, a desna strana nije.

Dakle, traženi troznamenkasti broj jednak je $396$.

Drugo rješenje.

Budući da je $a,b\in\{1,2,3,\ldots,9\}$, zaključujemo kao i u prvom rješenju da je

$$a+9+b\in\{12,18,24\},\quad\text{odnosno}\quad a+b\in\{3,9,15\}. \tag{$\star$}$$

Ako je $a+b=3$, tada je $(a,b)\in\{(1,2),(2,1)\}$.

Ako je $a+b=9$, tada je $(a,b)\in\{(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1)\}$.

Ako je $a+b=15$, tada je $(a,b)\in\{(6,9),(7,8),(8,7),(9,6)\}$.

Među navedenim mogućnostima tražimo uređeni par za koji vrijedi

$$\overline{b9a}=2\cdot\overline{a9b}-99.$$

Direktnom provjerom dobiva se da je ova jednakost točna samo za $(a,b)=(3,6)$ odnosno da je traženi broj jednak $396$.