5. Zadatak

Prvi potez je zamjena prve dvije pločice. Poredak $BCBCBC\ldots$ prelazi u poredak $CBBCBC\ldots$. To je jedna zamjena.

Nakon toga da bi se nova crna pločica dovela na drugu poziciju u nizu potrebne su najmanje sljedeće $2$ zamjene: Poredak $CBBCBC\ldots$ prvo prelazi u poredak $CBCBBC\ldots$, a zatim u $CCBBBC\ldots$.

Analogno, da bi se treća crna pločica dovela na treću poziciju potrebne su najmanje $3$ zamjene: $CCBBCB\ldots\to CCBCBB\ldots\to CCCBBB\ldots$. Zaključujemo: da bi se $n$-ta crna pločica dovela na $n$-tu poziciju potrebno je najmanje $n$ zamjena.

Najmanji ukupan broj zamjena je tada $N=1+2+3+4+5+\cdots+n$.

Zapišimo zbroj $N$ još jednom u obrnutom poretku pribrojnika, pa zatim zbrojimo obje jednakosti kao što slijedi:

$$\begin{aligned} N&=1+2+3+4+5+\cdots+(n-1)+n,\\ N&=n+(n-1)+\cdots+5+4+3+2+1,\\ \Rightarrow\quad 2N&=(1+n)+(2+n-1)+\cdots+(n-1+2)+(n+1)=n(n+1). \end{aligned}$$

Odatle je $N=\frac{n(n+1)}2$.