6. Zadatak

Neka je traženi broj $x=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$, gdje su $a,b,c,d$ znamenke i $a\ne0$. Tada vrijedi

$$1000a+100b+10c+d=a^2+b^2+c^2+d^2+1949. \tag{1}$$

Zbroj kvadrata može biti najviše $4\cdot81=324$. Stoga je $x\le324+1949=2273$, pa znamenka $a$ može biti samo $1$ ili $2$.

Ako je $a=1$, iz (1) slijedi

$$100b+10c+d=b^2+c^2+d^2+950.$$

Desna je strana veća od $950$, pa jednakost nije moguća za $b<9$. U slučaju $b=9$ ne postoje znamenke $c,d$ za koje bi vrijedilo $10c+d=131+c^2+d^2$, jer je lijeva strana dvoznamenkasti, a desna troznamenkasti broj. Zato mora biti $a=2$.

Tada je

$$100b+10c+d+47=b^2+c^2+d^2. \tag{*}$$

Budući da je $b^2+c^2+d^2\le3\cdot81=243$, mogući su samo $b\in\{0,1,2\}$.

1. $b=2$. Tada bi

$$10c+d+243=c^2+d^2,$$

što je nemoguće jer je lijeva strana veća od $243$, a desna najviše $162$.

2. $b=1$. Tada bi

$$10c+d=c^2+d^2-146.$$

Kako je lijeva strana dvoznamenkasti broj, slijedi $c^2+d^2\ge146$, što je moguće samo za $c=d=9$. Izravnom provjerom ni tada jednakost ne vrijedi.

3. $b=0$. Tada je

$$10c+d+47=c^2+d^2,$$

odnosno

$$d(d-1)=47+10c-c^2=72-(c-5)^2.$$

Uvrštavamo neparne znamenke $c$:

$$\begin{aligned} c=1&:\quad d(d-1)=56=8\cdot7,\\ c=3&:\quad d(d-1)=68,\\ c=5&:\quad d(d-1)=72=9\cdot8,\\ c=7&:\quad d(d-1)=68,\\ c=9&:\quad d(d-1)=56=8\cdot7. \end{aligned}$$

Od toga $56=8\cdot7$ daje $d=8$ za $c=1$ i $c=9$, a $72=9\cdot8$ daje $d=9$ za $c=5$. Zato su rješenja

$$\boxed{2018,\ 2059,\ 2098}.$$