3. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je pravac $AC$ okomit na pravac $BE$, tada je skalarni umnožak vektora $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{BE}$ jednak nuli. Prikažimo ih kao linearne kombinacije vektora $\vec a=\overrightarrow{AB}$ i $\vec b=\overrightarrow{BC}$:

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b,$$ $$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE} =\vec b-\frac34\vec a.$$

Uvjet okomitosti prelazi u

$$(\vec a+\vec b)\cdot\left(\vec b-\frac34\vec a\right)=0.$$

Razvojem dobivamo

$$\vec a\cdot\vec b-\frac34(\vec a)^2+(\vec b)^2-\frac34\vec b\cdot\vec a=0.$$

Vektori $\vec a$ i $\vec b$ okomiti su, pa je $\vec a\cdot\vec b=0$. Budući da je $(\vec a)^2=a^2$, a $(\vec b)^2=b^2$, slijedi

$$-\frac34a^2+b^2=0,$$

odnosno

$$b^2=\frac34a^2, \qquad \boxed{\frac ba=\frac{\sqrt3}{2}}$$

(ili $\frac ab=\frac2{\sqrt3}$).

Drugo rješenje.

Uz oznake kao na slici uočimo sličnost trokuta $ASB$ i $CSE$. To su pravokutni trokuti s kutovima $\alpha$ i $\beta$, pa su slični prema poučku K–K. Tada je

$$\frac xy=\frac a{3a/4}=\frac43, \qquad x=\frac43y.$$

Analogno dobivamo

$$z=\frac43t.$$

Primjenom Pitagorina poučka na trokute $ABC$, $BCE$ i uvrštavanjem $x=\frac43y$, $z=\frac43t$ dobivamo

$$\left(\frac43y+y\right)^2=a^2+b^2 \Longleftrightarrow \frac{49}{9}y^2=a^2+b^2,$$ $$\left(\frac43t+t\right)^2=\frac9{16}a^2+b^2 \Longleftrightarrow \frac{49}{9}t^2=\frac9{16}a^2+b^2.$$

Zbrajanjem tih jednakosti i primjenom Pitagorina poučka na trokut $CSE$ slijedi

$$\frac{49}{9}(y^2+t^2)=\frac{25}{16}a^2+2b^2,$$ $$\frac{49}{9}\cdot\frac9{16}a^2=\frac{25}{16}a^2+2b^2,$$

pa je

$$\frac32a^2=2b^2, \qquad \boxed{\frac ab=\frac2{\sqrt3}}$$

(odnosno $\frac ba=\frac{\sqrt3}{2}$, što je isti omjer kao u prvom načinu).