5. Zadatak

Primijenimo svojstva logaritma na zadane nejednakosti kako bismo odredili skupove A i B.

$$\begin{aligned} \log(1+x^2+y^2)&\le1+\log(x+y)=\log(10(x+y))\\ &\Longleftrightarrow 1+x^2+y^2\le10(x+y)\\ &\Longleftrightarrow (x-5)^2+(y-5)^2\le49. \end{aligned}$$

Analogno,

$$\begin{aligned} \log(2+x^2+y^2)&\le2+\log(x+y)\\ &\Longleftrightarrow 2+x^2+y^2\le100(x+y)\\ &\Longleftrightarrow (x-50)^2+(y-50)^2\le4998. \end{aligned}$$

Zaključujemo da su skupovi $A$ i $B$ krugovi s pripadnim kružnicama. Središte i polumjer kruga $A$ jesu $S_1(5,5)$, $r_1=7$, a središte i polumjer kruga $B$ jesu $S_2(50,50)$, $r_2=\sqrt{4998}$.

Za koordinate točaka $(x,y)$ iz oba skupa mora biti ispunjen uvjet $x+y>0$ zbog logaritma, odnosno sve se točke skupova $A$ i $B$ trebaju nalaziti iznad pravca $y=-x$. Ovo je očito ispunjeno za sve $(x,y)$. Stoga je traženi omjer jednak

$$\frac{P(B)}{P(A)} =\frac{4998\pi}{49\pi} =\boxed{102}.$$