7. Zadatak

Označimo duljine dobivenih dužina redom:

$$x_1=|AD|,\qquad x_2=|DE|,\qquad x_3=|EF|,\ldots$$

U trokutu $ACD$ kut pri vrhu $D$ jednak je $\alpha$, jer su to kutovi s okomitim kracima. U trokutu $CDE$ kut pri vrhu $E$ također je $\alpha$, i tako dalje. Sve dobivene dužine hipotenuze su pravokutnih trokuta.

Ako je $b=|AC|$, tada

$$\sin\alpha=\frac b{x_1}=\frac{|CD|}{x_2},$$

pa je

$$x_2=\frac{x_1|CD|}{b}.$$

S druge strane,

$$\tan\alpha=\frac b{|CD|}, \qquad |CD|=\frac b{\tan\alpha}.$$

Zato je

$$x_2=\frac{x_1}{\tan\alpha}, \qquad x_3=\frac{x_2}{\tan\alpha}, \quad\ldots$$

Duljine čine geometrijski niz s količnikom $\frac1{\tan\alpha}$. Budući da je $\alpha$ veći od dva šiljasta kuta u pravokutnom trokutu, vrijedi $\alpha>45^\circ$, pa je $\tan\alpha>1$ i količnik je manji od $1$.

Zbroj svih promatranih dužina jest

$$x_1+x_2+x_3+\cdots =\frac{x_1}{1-\frac1{\tan\alpha}} =\frac{x_1\tan\alpha}{\tan\alpha-1}.$$

Budući da je $x_1=b/\sin\alpha$, a u početnom trokutu $b=c\cos\alpha$, dobivamo

$$\frac{x_1\tan\alpha}{\tan\alpha-1} =\frac{b}{\sin\alpha}\cdot\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha-1} =\frac{c}{\tan\alpha-1},$$

pa je traženi zbroj

$$\boxed{\frac{c}{\tan\alpha-1}}.$$