4. Zadatak

Šesteroznamenkasti palindrom $x$ je oblika $\overline{abccba}$ i može se zapisati kao:

$$\begin{aligned} \overline{abccba}&=100000a+10000b+1000c+100c+10b+a\\ &=100001a+10010b+1100c=11(9091a+910b+100c), \end{aligned}$$

iz čega vidimo da je $x$ uvijek djeljiv s $11$. Zaključujemo da je i $\frac{x}{11}$ prirodan broj koji može biti četveroznamenkast ili peteroznamenkast.

Ako je $\frac{x}{11}$ četveroznamenkasti palindrom, onda vrijedi $10000>\frac{x}{11}>\frac{100000}{11}>9090$. Dakle, prva znamenka palindroma $\frac{x}{11}$, a time i zadnja, mora biti jednaka $9$. Tada znamo da će i zadnja znamenka broja $x$ biti jednaka $9$. No, tada bi i prva znamenka broja $x$ trebala biti $9$, ali to je nemoguće jer je najveći broj $x$ kojeg u ovom slučajmo možemo dobiti jednak $9999\cdot11=109989$. Dakle, ne postoji šesteroznamenkasti palindrom $x$ za koji je broj $\frac{x}{11}$ četveroznamenkasti palindrom.

Neka je dakle $\frac{x}{11}=\overline{efgfe}$ za neke znamenke $e$, $f$ i $g$. Tada vrijedi:

$$x=\overline{abccba}=11\cdot\overline{efgfe}=10\cdot\overline{efgfe}+\overline{efgfe}=\overline{efgfe0}+\overline{efgfe}.$$

Zapišimo ovaj zbroj po znamenkama, kao u pismenom zbrajanju:

$$\begin{array}{rrrrrr} e&f&g&f&e&0\\ &e&f&g&f&e\\ \hline a&b&c&c&b&a \end{array}$$

Promatrajući zadnju znamenku odmah vidimo da mora biti $e=a$. Kako bi sada i prva znamenka zbroja bila ispravna, ne smije biti prijenosa vrijednosti prilikom zbrajanja znamenki $f$ i $e$ na drugoj poziciji, pa sigurno vrijedi $e+f<10$. Treća i četvrta znamenka zbroja su jednake i dobiju se zbrajanjem istog para znamenki $f$ i $g$, pa kako nema prijenosa vrijednosti u zbroju znamenki na petoj poziciji (zbog $e+f<10$), također ne smije biti prijenosa vrijednosti prilikom zbrajanja znamenki $f$ i $g$ na četvrtoj poziciji, tj. vrijedi $f+g<10$.

Sada zaključujemo da za znamenke $e$, $f$ i $g$ vrijedi:

$$\begin{aligned} e&=a,\\ f&=b-e=b-a,\\ g&=c-f=c-(b-a). \end{aligned}$$

Iz ovoga zaključujemo da znamenke $a$, $b$ i $c$ polaznog palindroma $x$ moraju zadovoljavati sljedeće uvjete kako bi broj $\frac{x}{11}$ bio peteroznamenkasti palindrom:

$$\begin{aligned} 1\leq a\leq b\leq9&\qquad(1)\\ b-a\leq c\leq9&\qquad(2) \end{aligned}$$

Ako je $f=b-a=k$ za neki prirodni broj $0\leq k\leq8$ tada znamenki $c$ koje zadovoljavaju uvjet (2) ima točno $9-k+1=10-k$. Za taj isti $k$, parova znamenki $(a,b)$ koji zadovoljavaju uvjet (1) takvih da je $b-a=k$ ima $9-k$. Stoga ukupni broj trojki $(a,b,c)$ koje zadovoljavaju prethodne uvjete, a time i broj šesteroznamenkastih palindroma $x$ za koje je broj $\frac{x}{11}$ također palindrom, računamo kao zbroj:

$$\sum_{k=0}^{k=8}(10-k)\cdot(9-k)=10\cdot9+9\cdot8+\cdots+3\cdot2+2\cdot1=330.$$

Ukupni broj svih šesteroznamenkastih palindroma jednak je $9\cdot10\cdot10=900$. Konačno, tražena vjerojatnost iznosi $\frac{330}{900}=\frac{11}{30}$.