5. Zadatak

Ako primijenimo poučak o kosinusu na trokut $ACD$ slijedi

$$|AC|^2=5^2+3^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos120^\circ=49.$$

Dakle, duljina dijagonale $AC$ iznosi $7$.

Budući da je zadani četverokut tetivan, zbroj njegovih nasuprotnih kutova jednak je $180^\circ$, pa je mjera kuta $CBA$ jednaka $60^\circ$. Primijenimo li sada poučak o kosinusu na trokut $ABC$ slijedi da je

$$7^2=3^2+|AB|^2-2\cdot2\cdot|AB|\cdot\cos60^\circ,$$

odnosno $|AB|^2-3|AB|-40=0$, odakle se dobije $|AB|=8$.

Primijenimo poučak o kosinusu i na trokute $DCB$ i $BAD$, pri čemu ćemo kut $BAD$ označiti s $\alpha$. Dobivamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice:

$$\begin{aligned} |BD|^2&=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\cos(180^\circ-\alpha)=18+18\cos\alpha,\\ |BD|^2&=5^2+8^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos\alpha=89-80\cos\alpha. \end{aligned}$$

Izrazimo li $\cos\alpha$ iz prve jednadžbe i uvrstimo u drugu slijedi da je $|BD|^2=\frac{9\cdot169}{49}$, odnosno $|BD|=\frac{39}{7}$. Dakle, duljina kraće dijagonale iznosi $\frac{39}{7}$.