3. Zadatak

Jednadžba proizvoljnog pravca koji prolazi točkom $T(0,1)$ glasi $y=kx+1$, za neki $k\in\mathbb R$.

Pronađimo prvo koordinate točke $M$ kao sjecišta zadanog pravca $x+y-2=0$ i pravca $y=kx+1$:

$$\begin{aligned} -x+2&=kx+1\\ \Longrightarrow\quad x&=\frac1{k+1},\quad y=\frac{2k+1}{k+1}. \end{aligned}$$

Dakle, koordinate točke $M$ su $\left(\frac1{k+1},\frac{2k+1}{k+1}\right)$. Na analogan način, rješavanjem sustava jednadžbi $y=kx+1$ i $-x+y-2=0$, dobivamo da su koordinate drugog sjecišta $N$ jednake $\left(\frac1{k-1},\frac{2k-1}{k-1}\right)$.

Koordinate polovišta $P(x_P,y_P)$ dužine $MN$ dane su s $x_P=\frac{x_M+x_N}{2}$ i $y_P=\frac{y_M+y_N}{2}$. Uvrštavanjem dobivamo $P\left(\frac{k}{k^2-1},\frac{2k^2-1}{k^2-1}\right)$.

Kako bismo dobili jednadžbu traženoga skupa točaka moramo dobiti vezu između koordinata $x_P$ i $y_P$, odnosno eliminirati parametar $k$. Primijetimo da vrijedi:

$$y_P-2=\frac{2k^2-1}{k^2-1}-2=\frac1{k^2-1}=\frac{x_P}{k}\Longrightarrow k=\frac{x_P}{y_P-2}.$$

Također imamo:

$$y_P=\frac{2k^2-1}{k^2-1}\Longrightarrow k^2=\frac{y_P-1}{y_P-2}.$$

Kvadriranjem izraza za $k$ i izjednačavanjem jednadžbi dobivamo jednadžbu tražene krivulje u obliku $x^2-(y-2)(y-1)=0$. Sređivanjem ove jednadžbe konačno dobijemo jednadžbu pomaknute hiperbole

$$x^2-\left(y-\frac32\right)^2=-\frac14.$$