3. Zadatak

Neka je $A$ umnožak brojeva $1-\frac1{n^2}$ za sve prirodne brojeve $n$ od $2$ do $2027$ , tj.

A=\left(1-\frac1{2^2}\right)\cdot\left(1-\frac1{3^2}\right)\cdot \left(1-\frac1{4^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac1{2027^2}\right).

Riješi jednadžbu

x+\frac{x}{1+2}+\frac{x}{1+2+3}+\cdots+\frac{x}{1+2+\cdots+2026}=A,

pri čemu je na lijevoj strani zbroj $2026$ pribrojnika oblika $\frac{x}{1+2+\cdots+n}$ .

Rješenje

U umnošku koji prikazuje broj $A$ svaka je zagrada na desnoj strani razlika kvadrata, pa vrijedi

\begin{aligned} A&=\left(1-\frac1{2^2}\right)\cdot\left(1-\frac1{3^2}\right)\cdot \left(1-\frac1{4^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac1{2027^2}\right)\\ &=\left(1-\frac12\right)\left(1+\frac12\right) \left(1-\frac13\right)\left(1+\frac13\right) \left(1-\frac14\right)\left(1+\frac14\right)\cdot\ldots\cdot \left(1-\frac1{2027}\right)\left(1+\frac1{2027}\right)\\ &=\frac12\cdot\frac32\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac34\cdot\frac54 \cdot\ldots\cdot\frac{2026}{2027}\cdot\frac{2028}{2027}\\ &=\frac12\cdot\frac{2028}{2027}=\frac{1014}{2027}. \end{aligned}

Pojednostavimo izraz na lijevoj strani jednadžbe. Prvo izlučimo nepoznanicu $x$ :

x\left(1+\frac1{1+2}+\frac1{1+2+3}+\cdots+\frac1{1+2+\cdots+2026}\right)=A.

Budući da je zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva jednak $\frac{n(n+1)}2$ , dobivamo:

2x\cdot\left(\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{2026\cdot2027}\right)=A.

Kada na svaki pribrojnik u zagradi primijenimo identitet $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ , dobivamo

2x\cdot\left(\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+ \left(\frac13-\frac14\right)\cdot\ldots+ \left(\frac1{2026}-\frac1{2027}\right)\right)=A.

Sređivanjem dobivamo jednadžbu $2x\cdot\left(1-\frac1{2027}\right)=A$ , čije je rješenje

x=\frac{2027}{4052}\cdot A=\frac{2027}{4052}\cdot\frac{1014}{2027}=\frac{507}{2026}.