2. Zadatak

Promatranjem lijeve strane jednadžbe uočavamo da su pribrojnici $2a$, $4b$ i $8d$ nužno parni brojevi jer su višekratnici broja $2$. Budući da je njihov zbroj s članom $5c$ jednak parnom broju $138$, zaključujemo da i umnožak $5c$ mora biti paran. Budući da je broj $5$ neparan, slijedi da je sam broj $c$ paran. Budući da je $c$ prost broj, a jedini paran prost broj je $2$, dobivamo $c=2$.

Uvrštavanjem vrijednosti $c=2$ u početni izraz dobivamo jednadžbu $2a+4b+10+8d=138$. Oduzimanjem broja $10$ s obje strane jednadžba prelazi u oblik $2a+4b+8d=128$, što nakon dijeljenja s $2$ daje $a+2b+4d=64$.

Iz dobivenog izraza izdvojimo nepoznanicu $a=64-2b-4d$. Budući da su $64$, $2b$ i $4d$ parni brojevi, njihova razlika također mora biti paran broj. Iz toga proizlazi da je $a$ paran prost broj, odnosno da je $a=2$.

Uvrštavanjem $a=2$ u prethodnu jednadžbu dobivamo $2+2b+4d=64$. Oduzimanjem broja $2$ od obje strane i dijeljenjem s $2$ dobivamo $b+2d=31$ tj. $b=31-2d$. Kako bi $b$ bio pozitivan prost broj, vrijednost izraza $2d$ mora biti manja od $31$.

Ispitivanjem prostih brojeva za $d$ dobivamo sljedeće vrijednosti

$d$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$
$b=31-2d$	$27$	$25$	$21$	$17$	$9$	$5$

Dobivena vrijednost za $b$ je prost broj samo za $d=7$ i $d=13$.

Postoje točno dvije četvorke prostih brojeva $(a,b,c,d)$ koje zadovoljavaju uvjete zadatka:

$$(2,17,2,7)\qquad\text{i}\qquad(2,5,2,13).$$