5. Zadatak
Na metalnu ploču postavljaju se magneti, crveni i plavi, tako da na svakom polju bude po jedan magnet. Magnete iste boje ne razlikujemo.
a) Na koliko se načina može popuniti jedan redak od šest polja tako da broj plavih magneta u tom retku bude paran?
b) Na koliko se načina može popuniti ploča dimenzija tako da u svakom retku i u svakom stupcu bude paran broj plavih magneta?
a) Do rješenja možemo doći promatrajući odabire polja redom. Za svako od prvih pet polja u retku postoje dvije mogućnosti (magnet može biti crven ili plav), što ukupno daje različita načina. Boja šestog magneta u retku tada je jedinstveno određena uvjetom parnosti: ako je među prvih pet magneta postavljen neparan broj plavih, šesti magnet mora biti plav, a u suprotnom mora biti crven. Stoga se jedan redak može ispravno popuniti na načina.
b) Kako bi svaki stupac imao paran broj plavih magneta, boja šestog magneta u svakom stupcu izravno ovisi o onima iznad njega. Ako je u prvih pet redaka nekog stupca već postavljen paran broj plavih magneta, šesti magnet mora biti crven kako bi se zadržala parnost. Ako je pak broj plavih magneta neparan, šesti magnet mora biti plav. Na taj je način cijeli šesti redak jedinstveno određen.
Provjerimo da će tada šesti redak također zadovoljavati pravilo parnosti. Budući da u svakom stupcu ima parno mnogo plavih magneta, na cijeloj ploči ih također ima parno mnogo. Kako u prvih redaka ima parno mnogo plavih magneta, onda ih parno mnogo mora biti i u šestom retku.
Svaki od prvih pet redaka možemo popuniti neovisno, koristeći već izračunata načina po retku. Stoga ukupan broj načina za popunjavanje prvih pet redaka, kao i ukupan broj svih mogućih rasporeda na cijeloj ploči iznosi: