5. Zadatak

Drugo rješenje: Iz posljednje dvije jednadžbe, dobivamo $b(1-c^2)=c+1$, tj. $c+1=0$ ili $b=\frac1{1-c}$. Slijedi da je $c\in\{-1,0,2\}$. Uvrštavanjem $c=0$ i $c=2$, ne dobivamo cjelobrojna rješenja za $a$ i $b$, pa je $c=-1$. To znači da je $a+b=1$, a $ab=-6$. Stoga su $a$ i $b$ rješenja kvadratne jednadžbe $t^2-t-6=0$, a to su $-2$ i 3. To znači da su jedina rješenja sustava $(-2,3,-1)$ i $(3,-2,-1)$.

Prvo rješenje: Oduzimanjem posljednjih dviju jednadžbi dobivamo $$\begin{aligned} c(b-a)&=a-b,\\ (b-a)(c+1)&=0. \end{aligned}$$ Odavde je $c=-1$ ili $a=b$.

(a) Ako je $c=-1$, tada sustav prelazi u: $$\begin{aligned} ab&=-6,\\ a&=1-b. \end{aligned}$$ Eliminacijom nepoznanice $a$ slijedi $$b^2-b-6=0,$$ a odavde $b=3$, $a=-2$ ili $b=-2$, $a=3$.

(b) Ako je $a=b$, dobivamo sustav $$\begin{aligned} a^2+5&=c,\\ ac+1&=a. \end{aligned}$$ Ovaj se sustav može analizirati na više načina. Na primjer:

(b1) Eliminacijom nepoznanice $c$: $$a^3+4a+1=0.$$ Ova jednadžba nema cjelobrojnih rješenja. (Sva takva rješenja moraju biti djelitelji slobodnog člana 1).

(b2) Iz druge jednadžbe je $$c=1-\frac1a$$ pa mora biti $a=1$ ili $a=-1$, a niti jedan slučaj ne zadovoljava prvu jednadžbu.