2. Zadatak

$$\begin{aligned} (1+i\sqrt3)^n&=2^n\cdot\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}2\right)^n\\ &=2^n\cdot\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)^n =2^n\cdot\left(\cos\frac{n\pi}3+i\sin\frac{n\pi}3\right). \end{aligned}$$ Prirodni broj $n$ može se napisati u obliku $n=6k+r$, pri čemu je $k$ cijeli broj i $r$ ostatak dijeljenja. U ovisnosti o ostatku, imamo: $$\operatorname{Re}(1+i\sqrt3)^n=2^n\cdot\cos\frac{n\pi}3= \begin{cases} 2^n,&n=6k\\ 2^{n-1},&n=6k+1\\ -2^{n-1},&n=6k+2\\ -2^n,&n=6k+3\\ -2^{n-1},&n=6k+4\\ 2^{n-1},&n=6k+5, \end{cases}$$ Time je tvrdnja dokazana.