6. Zadatak

Na slici je prikazano prvih nekoliko koraka u bojenju područja između dva kvadrata:

Ukupno je $2024+2025=4049$ područja koja su obojena ili neobojena, a broj konstruiranih kvadrata jednak je $4049$.

Neka su $a_1,a_2,\ldots,a_{4049}$ redom duljine stranica kvadrata $K_1,K_2,\ldots,K_{4049}$, a $P_1,P_2,\ldots,P_{4049}$ njihove površine. Polumjere kvadratima opisanih kružnica označit ćemo redom $r_1,r_2,\ldots,r_{4048}$.

Tada je površina obojenog područja jednaka zbroju $P_2-P_1+P_4-P_3+\cdots+P_{4048}-P_{4047}$, a površina neobojenog područja zbroju $P_1+P_3-P_2+P_5-P_4+\cdots+P_{4049}-P_{4048}$.

Duljine stranica kvadrata su redom:

$$a_1=1,$$ $$a_2=2r_1=a_1\sqrt2=\sqrt2,$$ $$a_3=2r_2=a_2\sqrt2=2,$$ $$a_4=2r_3=a_3\sqrt2=2\sqrt2,$$ $$\vdots$$

Duljine stranica kvadrata čine geometrijski niz kojemu je kvocijent $q=\sqrt2$, $a_1=1$ te opći član

$$a_n=(\sqrt2)^{n-1}=2^{\frac{n-1}{2}}.$$

Tada je površina kvadrata $K_n$ jednaka $P_n=(a_n)^2=2^{n-1}$. Očito površine kvadrata čine geometrijski niz kojemu je kvocijent jednak $q_P=2$.

Površina obojenog područja $P_O$ jednaka je

$$P_O=P_2-P_1+P_4-P_3+\cdots+P_{4048}-P_{4047}=-P_1+P_2-P_3+P_4+\cdots-P_{4047}+P_{4048}.$$

Uočimo da je zbroj obojenih površina jednak zbroju $4048$ članova geometrijskog niza kojemu je kvocijent $q_O=-q_P=-2$, a prvi član $-P_1=-1$. Stoga vrijedi

$$P_O=-1\cdot\frac{(-2)^{4048}-1}{-2-1}=\frac13(2^{4048}-1).$$

Površina neobojenog područja $P_N$ jednaka je

$$P_N=P_1+P_3-P_2+P_5-P_4+\cdots+P_{4049}-P_{4048}=P_1-P_2+P_3-P_4+\cdots-P_{4048}+P_{4049}.$$

Kao i kod zbroja obojenih površina, zaključujemo da je zbroj neobojenih površina jednak zbroju $4049$ članova geometrijskog niza kojemu je kvocijent $q_N=-q_P=-2$, a prvi član $P_1=1$. Stoga vrijedi

$$P_N=1\cdot\frac{(-2)^{4049}-1}{-2-1}=-\frac13(-2^{4049}-1)=\frac13(2^{4049}+1).$$

Učenici mogu zbroj obojenih i neobojenih površina računati i na druge načine, primjerice mogu računati površinu po područjima:

$$\begin{aligned} P_O&=(P_2-P_1)+(P_4-P_3)+\cdots+(P_{4048}-P_{4047})\\ &=1+4+16+\cdots+2^{4046}\\ &=1\cdot\frac{4^{2024}-1}{4-1}=\frac13(2^{4048}-1), \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} P_N&=P_1+(P_3-P_2)+(P_5-P_4)+\cdots+(P_{4049}-P_{4048})\\ &=1+(2+8+16+\cdots+2^{4046})\\ &=1+2\cdot\frac{4^{2024}-1}{4-1}=1+\frac23(2^{4048}-1)=\frac13(2^{4049}+1). \end{aligned}$$

Također, može se zaključiti da je ukupna površina neobojenih dijelova jednaka polovici ukupne površine obojenih dijelova plus površina početnog kvadrata pa na taj način izračunati neobojenu površinu. Isto vrijedi i ako obojenu računa kao dvostruku neobojenu (bez početnog kvadrata).