7. Zadatak

Neka je $V_n$ obujam skulpture $S_n$ sastavljene od niza kocaka čije su duljine bridova $1$, $2$, … do $n$. Očito je $V_n=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3$ pa je Laurina tvrdnja ekvivalentna tvrdnji:

Zbroj kubova prvih $n$ prirodnih brojeva jednak je kvadratu zbroja nekih $n$ različitih prirodnih brojeva.

Kako bismo odredili koji su to prirodni brojevi redom ćemo računati obujme Laurinih skulptura:

$$V_1=1^3=1^2,$$ $$V_2=1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2,$$ $$V_3=1^3+2^3+3^3=V_2+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2,$$ $$V_4=V_3+4^3=100=10^2=(1+2+3+4)^2,$$ $$\vdots$$

Tvrdimo da je obujam skulpture $S_n$ jednak kvadratu zbroja prvih $n$ prirodnih brojeva za sve $n\in\mathbb{N}$:

$$V_n=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=(1+2+3+\cdots+n)^2.$$

Budući je zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva jednak $\dfrac{n(n+1)}2$ Laurina će tvrdnja biti dokazana ako dokažemo tvrdnju:

$$T_n:\qquad1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.$$

Tvrdnju dokazujemo koristeći princip matematičke indukcije. Provjerimo prvo bazu indukcije odnosno vrijedi li tvrdnja za $n=1$. Tvrdnja vrijedi jer je

$$1^3=\left(\frac{1\cdot(1+1)}2\right)^2.$$

Pretpostavimo da tvrdnja $T_n$ vrijedi za neki prirodni broj $n$.

Pokažimo da tada tvrdnja vrijedi i za sljedeći prirodni broj, odnosno za $n+1$. Dakle, treba dokazati:

$$T_{n+1}:\qquad1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3+(n+1)^3=\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2.$$

Krenemo li od lijeve strane i primijenimo pretpostavku na zbroj prvih $n$ kubova dobivamo:

$$\begin{aligned} 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3+(n+1)^3 &=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2+(n+1)^3\\ &=\frac{(n+1)^2}{4}\cdot(n^2+4(n+1))\\ &=\frac{(n+1)^2}{4}\cdot(n^2+4n+4)\\ &=\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2. \end{aligned}$$

Time smo pokazali da za neki proizvoljan $n$ tvrdnja $T_n$ povlači da vrijedi i tvrdnja $T_{n+1}$, pa budući da $T_n$ vrijedi za $n=1$, ona vrijedi za sve prirodne brojeve.