2. Zadatak

Ako je $|z|=1$, broj $z$ možemo zapisati u trigonometrijskom obliku

$$z=\cos\varphi+i\sin\varphi,\qquad0\leq\varphi<2\pi.$$

Tada je

$$z^{5!}=\cos(5!\varphi)+i\sin(5!\varphi)=\cos(120\varphi)+i\sin(120\varphi),$$

a

$$z^{4!}=\cos(4!\varphi)+i\sin(4!\varphi)=\cos(24\varphi)+i\sin(24\varphi),$$

te

$$z^{5!}-z^{4!}=\cos(120\varphi)-\cos(24\varphi)+i\big(\sin(120\varphi)-\sin(24\varphi)\big).$$

Ova će razlika biti realan broj ako je imaginarni dio jednak $0$, odnosno ako vrijedi

$$\sin(120\varphi)-\sin(24\varphi)=0$$

ili

$$\sin(120\varphi)=\sin(24\varphi).$$

Posljednja će jednakost biti točna ako vrijede sljedeće dvije mogućnosti:

$$120\varphi=24\varphi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},$$

ili

$$120\varphi=\pi-24\varphi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},$$

odnosno

$$\varphi=\frac{2k\pi}{96}$$

ili

$$\varphi=\frac{(2k+1)\pi}{144},\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Budući da mora vrijediti $0\leq\varphi<2\pi$ iz prve jednakosti slijedi da je

$$\varphi=\frac{2k\pi}{96}\Longrightarrow0\leq k<96,\qquad k\in\mathbb{Z},$$ $$\varphi=\frac{(2k+1)\pi}{144}\Longrightarrow-0.5\leq k<143.5,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Takvih cijelih brojeva $k$ ima $96+144=240$, što je i traženi broj kompleksnih brojeva $z$.