3. Zadatak

Riješimo prvo nejednadžbu $\log_{\frac12}\dfrac{2x-1}{2-3x}>0$.

Logaritam je definiran ako je $\dfrac{2x-1}{2-3x}>0$, a što vrijedi za $x\in\left\langle\dfrac12,\dfrac23\right\rangle$.

Zatim redom slijedi

$$\log_{\frac12}\frac{2x-1}{2-3x}>0,$$ $$\frac{2x-1}{2-3x}<\left(\frac12\right)^0,$$ $$\frac{2x-1}{2-3x}-1<0,$$ $$\frac{5x-3}{2-3x}<0,$$ $$x\in\left\langle-\infty,\frac35\right\rangle\cup\left\langle\frac23,\infty\right\rangle.$$

Zbog uvjeta da je $x\in\left\langle\dfrac12,\dfrac23\right\rangle$ rješenje polazne nejednadžbe je $x\in\left\langle\dfrac12,\dfrac35\right\rangle$.

Prirodna domena funkcije $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{-10x^2+bx+c}}$ jest skup svih realnih brojeva za koji vrijedi $-10x^2+bx+c>0$.

Ako su $x_1$ i $x_2$ rješenja jednadžbe $-10x^2+bx+c=0$, onda je rješenje nejednadžbe $-10x^2+bx+c>0$ interval $\langle x_1,x_2\rangle$, pa mora biti $x_1=\dfrac12$, $x_2=\dfrac35$.

Koristeći Vieteove formule izračunat ćemo tražene parametre:

$$x_1+x_2=\frac{b}{10}\Longrightarrow b=10\cdot\left(\frac12+\frac35\right)=11,$$ $$x_1\cdot x_2=-\frac{c}{10}\Longrightarrow c=-10\cdot\frac12\cdot\frac35=-3.$$

Dakle, traženi su parametri $b=11$, $c=-3$.

Tražene parametre možemo na kraju dobiti i ako uvrstimo $x_1=\dfrac12$, $x_2=\dfrac35$ u $-10x^2+bx+c=0$:

$$x_1=\frac12\Longrightarrow-10\left(\frac12\right)^2+b\cdot\frac12+c=0,$$ $$x_2=\frac35\Longrightarrow-10\left(\frac35\right)^2+b\cdot\frac35+c=0.$$

Rješavanjem sustava $3b+5c=18$, $b+2c=5$ slijedi da je $b=11$, $c=-3$.