5. Zadatak

Prvo rješenje.

Sjecišta pravca s koordinatnim osima dobivamo uvrštavanjem $x=0$ i $y=0$. Slijedi:

$$y=0\Longrightarrow x=8\Longrightarrow A(8,0),$$ $$x=0\Longrightarrow y=6\Longrightarrow B(0,6).$$

Tada je $|AB|=\sqrt{8^2+6^2}=10$.

Iz $\angle SCA=\angle SDB=60^\circ$ slijedi da je $AC\parallel BD$.

Zaključujemo da je četverokut $ADBC$ trapez, a budući da su trokuti $BCS$ i $ADS$ sukladni (po poučku SKS), trapez je jednakokračan.

Ako je $|AS|=a$, $|BS|=b$, tada su osnovice trapeza $|AC|=|AS|=a$, $|BD|=|BS|=b$.

Visina trapeza jednaka je zbroju visina jednakostraničnih trokuta $SCA$ i $SDB$, odnosno vrijedi

$$v=v_1+v_2=\frac{a\sqrt3}{2}+\frac{b\sqrt3}{2}=\frac{(a+b)\sqrt3}{2}.$$

Tada je tražena površina jednaka

$$P=\frac{(a+b)v}{2}=\frac{(a+b)^2\sqrt3}{4}=\frac{|AB|^2\sqrt3}{4}=25\sqrt3.$$

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju dolazimo do sjecišta s koordinatnim osima: $A(8,0)$ i $B(0,6)$, te do zaključka da je $|AB|=10$.

Budući da su trokuti $SCA$ i $SDB$ jednakostranični, pravac $CD$ siječe pravac $AB$ pod kutom od $60^\circ$, odnosno $120^\circ$, pa su točke $C$, $S$ i $D$ na istom pravcu.

Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ su dijagonale četverokuta $ABCD$ duljine $a+b$.

Tada površinu četverokuta $ABCD$ možemo računati po formuli

$$P=d_1\cdot d_2\cdot\sin\angle(d_1,d_2)=\frac12(a+b)^2\sin60^\circ=\frac12\cdot100\frac{\sqrt3}{2}=25\sqrt3.$$