5. Zadatak

Pravac čija je jednadžba $3x+4y-24=0$ siječe os apscisa u točki $A$ , a os ordinata u točki $B$ . Na dužini $\overline{AB}$ odabrana je točka $S$ . S različitih strana dužine $\overline{AB}$ konstruirani su jednakostranični trokuti $SCA$ i $SDB$ . Izračunaj površinu četverokuta $ADBC$ .

Prvo rješenje.

Konstrukcija jednakostraničnih trokuta nad dužinom AB

Sjecišta pravca s koordinatnim osima dobivamo uvrštavanjem $x=0$ i $y=0$ . Slijedi:

y=0\Longrightarrow x=8\Longrightarrow A(8,0),

x=0\Longrightarrow y=6\Longrightarrow B(0,6).

Tada je $|AB|=\sqrt{8^2+6^2}=10$ .

Iz $\angle SCA=\angle SDB=60^\circ$ slijedi da je $AC\parallel BD$ .

Zaključujemo da je četverokut $ADBC$ trapez, a budući da su trokuti $BCS$ i $ADS$ sukladni (po poučku SKS), trapez je jednakokračan.

Ako je $|AS|=a$ , $|BS|=b$ , tada su osnovice trapeza $|AC|=|AS|=a$ , $|BD|=|BS|=b$ .

Visina trapeza jednaka je zbroju visina jednakostraničnih trokuta $SCA$ i $SDB$ , odnosno vrijedi

v=v_1+v_2=\frac{a\sqrt3}{2}+\frac{b\sqrt3}{2}=\frac{(a+b)\sqrt3}{2}.

Tada je tražena površina jednaka

P=\frac{(a+b)v}{2}=\frac{(a+b)^2\sqrt3}{4}=\frac{|AB|^2\sqrt3}{4}=25\sqrt3.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju dolazimo do sjecišta s koordinatnim osima: $A(8,0)$ i $B(0,6)$ , te do zaključka da je $|AB|=10$ .

Budući da su trokuti $SCA$ i $SDB$ jednakostranični, pravac $CD$ siječe pravac $AB$ pod kutom od $60^\circ$ , odnosno $120^\circ$ , pa su točke $C$ , $S$ i $D$ na istom pravcu.

Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ su dijagonale četverokuta $ABCD$ duljine $a+b$ .

Tada površinu četverokuta $ABCD$ možemo računati po formuli

P=d_1\cdot d_2\cdot\sin\angle(d_1,d_2)=\frac12(a+b)^2\sin60^\circ=\frac12\cdot100\frac{\sqrt3}{2}=25\sqrt3.