1. Zadatak

Uočimo da vrijedi:

$$\begin{aligned} \frac{2n^2-40n+175}{n-10} &=\frac{2n^2-40n+200-25}{n-10}\\ &=\frac{2(n-10)^2-25}{n-10}\\ &=2n-20-\frac{25}{n-10}. \end{aligned}$$

Dobiveni će izraz biti prirodan broj ako je razlomak $\dfrac{25}{n-10}$ cijeli broj, što je moguće jedino ako je nazivnik $n-10$ djelitelj broja $25$. Dakle,

$$n-10\in\{\pm1,\pm5,\pm25\}.$$

Iz uvjeta da je $n\in\mathbb{N}$ slijedi:

$$n\in\{5,9,11,15,35\}.$$

Za svaki od dobivenih brojeva $n$ treba još provjeriti je li polazni razlomak, odnosno izraz $2n-20-\dfrac{25}{n-10}$, prirodan broj. Direktnom provjerom dobivamo da je konačno rješenje

$$n\in\{9,15,35\}.$$

Početni razlomak može se transformirati i na neki drugi način, primjerice:

$$\begin{aligned} \frac{2n^2-40n+175}{n-10} &=\frac{2n^2-20n-20n+200-25}{n-10}\\ &=\frac{2n(n-10)-20(n-10)-25}{n-10}\\ &=2n-20-\frac{25}{n-10}. \end{aligned}$$