3. Zadatak

Kako je desna strana jednakosti paran broj, to i lijeva strana mora biti paran broj. Da bi izraz $2p^3-q^2$ bio paran, $q^2$ mora biti paran, a tada je i $q$ paran broj. Jedini paran prost broj je broj dva, pa je $q=2$. Tada početna jednakost prelazi u

$$2p^3-4=2(p+2)^2,$$

što je ekvivalentno s

$$p^3-p^2-4p-6=0,$$

odnosno

$$p(p^2-p-4)=6.$$

Zaključujemo da $p$ mora biti djelitelj broja 6, a kako je $p$ prost broj, to mogu biti samo brojevi $p=2$ ili $p=3$.

Lagano se provjerava da je gornja jednakost zadovoljena samo za $p=3$, te je stoga uređeni par $(p,q)=(3,2)$ jedino rješenje dane jednadžbe.