5. Zadatak

Označimo s $L$ polovište dužine $\overline{BM}$. Uočimo da je $\overline{LK}$ srednjica trokuta $MBA$, pa je $\overline{LK}\parallel\overline{MA}$. Odatle slijedi $\angle BAM=\angle BKL$, pa je dovoljno pokazati da je $\angle BKL=\angle MKC$.

Promatramo trokute $LKB$ i $MKC$.

Kako je $K$ polovište hipotenuze, vrijedi

$$|KB|=|KC|,$$

pa je

$$\angle KBC=\angle KCB.$$

Iz zadane jednakosti slijedi

$$|BL|=\frac12|BM|=\frac12\cdot2\cdot|CM|=|CM|,$$

te je

$$\angle KBL=\angle KCM.$$

Prema poučku $SKS$, trokuti $LKB$ i $MKC$ su sukladni, a tada vrijedi $\angle BKL=\angle MKC$.

Trokuti $BCK$ i $ACK$ imaju zajedničku visinu i duljinu osnovice $\left(\frac{c}{2}\right)$, pa imaju istu površinu.

Isto tako trokuti $LBK$, $LMK$ i $MCK$ imaju istu duljinu osnovice ($|BL|=|LM|=|MC|$) i zajedničku visinu, pa time i istu površinu.

Tada je

$$P_{\triangle(ABC)}=2P_{\triangle(CBK)}=2\cdot3P_{\triangle(MKC)}=6P_{\triangle(MKC)},$$

pa je traženi omjer

$$\frac{P_{\triangle(MKC)}}{P_{\triangle(ABC)}}=\frac16.$$