1. Zadatak

Iz prve jednadžbe sustava je $y=-|x|+a$, što zamjenom u drugu jednadžbu daje

$$x^2-|x|+a=a|x|.$$

Slijedi niz ekvivalentnih jednadžbi

$$\begin{aligned} x^2-|x|+a-a|x|&=0\\ &\Longleftrightarrow |x|^2-|x|+a-a|x|=0\\ &\Longleftrightarrow |x|(|x|-1)-a(|x|-1)=0\\ &\Longleftrightarrow (|x|-1)(|x|-a)=0. \end{aligned}$$

Imamo dvije mogućnosti: $|x|=1$ ili $|x|=a$. Oba su rješenja moguća jer je $a>0$. U prvom slučaju je $x=1$ ili $x=-1$, a u drugom $x=a$ ili $x=-a$.

Za $x=1$, $y=-1+a$, za $x=-1$, $y=-1+a$.

Za $x=a$, $y=0$ i za $x=-a$, $y=0$.

Tada su vrhovi danog lika sljedeće točke:

$$(-a,0),\quad (a,0),\quad (1,a-1),\quad (-1,a-1).$$

Ove točke u koordinatnom sustavu određuju jednakokračan trapez kojemu je os ordinata os simetrije, pa je njegova površina

$$P=\frac{2a+2}{2}\cdot(a-1)=(a+1)(a-1)=a^2-1.$$

Iz $120=a^2-1$, slijedi $a^2=121\Rightarrow a=11$ ($a>1$).

Napomena: Zadatak se može riješiti i razlikovanjem slučajeva $x\le0$ i $x>0$. U prvom slučaju dobivamo jednadžbu $(x+1)(x+a)=0$, a u drugom $(x-1)(x-a)=0$, čija su rješenja za $x$ brojevi $-1,-a,1,a$. Dalje postupamo kao i u prethodnom rješenju.