4. Zadatak

Neka je stranica osnovke prizme duljine $a$, a njena visina $v$. Tada je obujam prizme jednak $V=a^2v$, a oplošje $O=2a^2+4av$.

Prema uvjetu zadatka vrijedi $a^2v=2a^2+4av$, odnosno $v(a-4)=2a$, tj. $$v=\frac{2a}{a-4}=\frac{2a-8+8}{a-4}=2+\frac{8}{a-4}.$$ Da bi $v$ bio cijeli broj, $a-4$ mora biti djelitelj broja 8.

Jedine mogućnosti su $a-4\in\{-2,-1,1,2,4,8\}$, no mora biti i $v>0$.

Stoga ostaju samo mogućnosti $a=5,6,8,12$ i $v=10,6,4,3$.

Ako su bridovi $(5,5,10)$, volumen je 250,

ako su bridovi $(6,6,6)$, volumen je 216,

ako su bridovi $(8,8,4)$, volumen je 256,

ako su bridovi $(12,12,3)$, volumen je 432.

Volumen je najmanji za prizmu čiji su bridovi duljina 6, 6, 6 (kocka!), a najveći za prizmu s bridovima duljina 12, 12 i 3.