5. Zadatak

Površina dobivenog šesterokuta jednaka je sumi $P_1+3P_2+3P_3$,

gdje smo označili:

s $P_1$ površinu danog jednakostraničnog trokuta $ABC$,

s $P_2$ površinu sukladnih kvadrata $ABLK$, $BCNM$ i $CAQP$ i

s $P_3$ površinu sukladnih trokuta $BLM$, $CNP$ i $AQK$.

Očito je $P_1=\frac{a^2\sqrt3}{4}$, $P_2=a^2$.

Visina iz vrha $B$ dijeli trokut $BLM$ na dva sukladna pravokutna trokuta s jednim kutom $60^\circ$ (jer je $\angle LBM=360^\circ-2\cdot90^\circ-60^\circ=120^\circ$), i hipotenuzom duljine $a$. Stoga je $P_3=P_1$.

Zato tražena površina šesterokuta $KLMNPQ$ iznosi $$P=\frac{a^2\sqrt3}{4}+3a^2+3\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=a^2(3+\sqrt3).$$ Opseg šesterokuta $KLMNPQ$ sastoji se od tri stranice kvadrata (duljine $a$) i tri najdulje stranice u trokutima $BLM$, $CNP$ i $AQK$.

Kako je duljina stranice $\overline{LM}$ jednaka dvostrukoj duljini visine danog jednakostraničnog trokuta,

imamo $$O=3|KL|+3|LM|=3a+3\cdot a\sqrt3=3a(1+\sqrt3).$$