3. Zadatak

Uočimo da je nazivnik jednak $\left(\sin x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0$ pa je $y$ definiran za svaki realan broj $x$. Dobivamo

$$(y-1)\sin^2x+(y+1)\sin x+y-1=0.\tag{1}$$

Da bi ova kvadratna jednadžba, po $\sin x$, imala realna rješenja, njezina diskriminanta mora biti nenegativna tj.

$$D=(y+1)^2-4(y-1)^2\geq0\quad\text{tj.}\quad(3-y)(3y-1)\geq0.$$

Odavde dobivamo $\dfrac13\leq y\leq3$, odnosno $y_{\min}=\dfrac13$, $y_{\max}=3$.

Uvrstimo li $y=\dfrac13$ u (1) dobivamo kvadratnu jednadžbu $(\sin x-1)^2=0$ tj. $\sin x=1$, odnosno minimum na $x\in[0,2\pi]$ se postiže za $x=\dfrac\pi2$. Analogno za $y=3$ dobivamo $(\sin x+1)^2=0$, čije je jedino rješenje $\sin x=-1$ pa se maksimum dostiže za $x=\dfrac{3\pi}2$.