2. Zadatak

Prvo rješenje. Neka je $T$ tražena točka. Njene koordinate su $T(x,x-3)$. Budući da su kutovi $\angle CTA$ i $\angle BTC$ jednaki, dužina $TC$ leži na simetrali kuta $\angle BTA$. Iz teorema o simetrali kuta imamo omjer $|AT|:|BT|=|AC|:|BC|$. Uvrstimo li koordinate točaka imamo

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}2\right)^2+(x-3)^2}:\sqrt{(x-2)^2+(x-3)^2}=\frac{15}2:3.$$

Kvadriranjem i sređivanjem dobivamo jednadžbu $x^2-7x=0$, čija su rješenja $x_1=0$, $x_2=7$. Odgovarajuće ordinate su $y_1=-3$, $y_2=4$.

Dakle, tražene točke su $T_1(0,-3)$ i $T_2(7,4)$.

Drugo rješenje. Neka je $T$ tražena točka. Njene koordinate su $T(x,y)=T(x,x-3)$.

Koeficijent smjera pravca $T_1T_2$, čije su koordinate $T(x_1,y_1)$, $T(x_2,y_2)$, je $k_{T_1T_2}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

U našem slučaju imamo:

$$k_{AT}=\frac{x-3}{x+\frac{17}2}=\frac{2(x-3)}{2x+17},\quad k_{BT}=\frac{x-3}{x-2},\quad k_{CT}=\frac{x-3}{x+1}.$$

Za kut $\alpha$ između pravaca s koeficijentima smjera $k_1$, $k_2$ vrijedi $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}$, a kako je $\angle CTA=\angle BTC$ dobivamo

$$\frac{k_{CT}-k_{AT}}{1+k_{CT}\cdot k_{AT}}=\frac{k_{BT}-k_{CT}}{1+k_{BT}\cdot k_{CT}}.$$

Uvrstimo li vrijednosti za $k_{AT}$, $k_{BT}$, $k_{CT}$ dobivamo

$$\frac{\dfrac{x-3}{x+1}-\dfrac{2(x-3)}{2x+17}}{1+\dfrac{x-3}{x+1}\cdot\dfrac{2(x-3)}{2x+17}}=\frac{\dfrac{x-3}{x-2}-\dfrac{x-3}{x+1}}{1+\dfrac{x-3}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x+1}}.$$

Sređivanjem dvojnih razlomaka dobit ćemo $\dfrac{5(x-3)}{4x^2+7x+35}=\dfrac{x-3}{2x^2-7x+7}$.

Jedno rješenje ove jednadžbe je $x=3$, a pripadna ordinata je $y=0$. U ovom slučaju se dužine $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ vide pod kutom jednakim nuli, što ne odgovara uvjetu zadatka. Zato možemo dijeliti s $x-3$ i dobivamo $\dfrac5{4x^2+7x+35}=\dfrac1{2x^2-7x+7}$.

Nakon sređivanja dobivamo $x(x-7)=0$. Rješenja ove jednadžbe su $x_1=0$, $x_2=7$, a odgovarajuće ordinate su $y_1=-3$, $y_2=4$.

Dakle tražene točke su $T_1(0,-3)$, $T_2(7,4)$.