1. Zadatak

Članove niza ćemo prikazati pomoću prvog člana $a_1$ i razlike niza $d$.

Prema uvjetu zadatka imamo ove dvije jednadžbe:

$$\begin{aligned}(a_1+d)(a_1+2d)&=3,\\(a_1+2d)(a_1+4d)&=-3.\end{aligned}$$

Zbrojimo li ove dvije jednadžbe, nakon sređivanja, dobivamo homogenu kvadratnu jednadžbu $2a_1^2+9a_1d+10d^2=0$. Dijeljenjem s $d^2$ dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$2\left(\frac{a_1}d\right)^2+9\cdot\frac{a_1}d+10=0.$$

Njezina rješenja su $\dfrac{a_1}d=-2$, $\dfrac{a_1}d=-\dfrac52$. Dobivamo $a_1=-2d$, $a_1=-\dfrac52d$.

Prvo rješenje $a_1=-2d$ nema smisla jer uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo $-d\cdot0=3$!

Za $a_1=-\dfrac52d$ iz prve jednadžbe dobivamo $d=\pm2$. No, $d=-2$ ne zadovoljava jer niz mora biti rastući. Za $d=2$ dobivamo $a_1=-5$.

Zbroj prvih $n$ članova niza je

$$S_n=\frac n2(a_1+a_n)=\frac n2(a_1+a_1+(n-1)d)=n^2-6n=(n-3)^2-9.$$

Minimum za $S_n$ dobiva se za $n=3$ i on iznosi $S_{\min}=-9$.

Napomena. Podijelimo li drugu jednadžbu s prvom, dobivamo $\dfrac{a_1+4d}{a_1+d}=-1$ odakle se dobiva $a_1=-\dfrac52d$, i dalje nastavlja kao gore.