5. Zadatak

Označimo s $a$ duljinu brida kocke. Presjek kocke i ravnine je paralelogram $BED' F$ čija jedna dijagonala je prostorna dijagonala $BD'$ kocke. Površina paralelograma je $P=|D' E|\cdot|BE|\cdot\sin\alpha$, gdje je $\alpha=\angle D' EB$.

Neka je $x=|C' E|$. Tada je $|D' E|=\sqrt{a^2+x^2}$, $|BE|=\sqrt{a^2+(a-x)^2}$.

Korištenjem kosinusovog poučka za trokut $D' BE$ imamo

$$|BD'|^2=|D' E|^2+|BE|^2-2\cdot|D' E|\cdot|BE|\cos\alpha.$$

Uvrštavanjem $|BD'|=a\sqrt3$ te izraza za $|D' E|$, $|BE|$, nakon sređivanja, imamo

$$\cos\alpha=\frac{x^2-ax}{\sqrt{(a^2+x^2)(a^2+(a-x)^2)}}.$$

Iz $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ dobivamo

$$\sin\alpha=\frac{a\sqrt{2x^2-2ax+2a^2}}{\sqrt{(a^2+x^2)(a^2+(a-x)^2)}}.$$

Uvrštavanjem u formulu za površinu paralelograma dobivamo $P=a\sqrt{2x^2-2ax+2a^2}$.

Budući da je pod korijenom kvadratna funkcija, ona poprima minimum za $x=\dfrac{-(-2a)}{2\cdot2}=\dfrac a2$ i on iznosi $P_{\min}=\dfrac{a^2\sqrt6}2$.

Traženi kut je $\angle DBD'$. Duljine stranica pravokutnog trokuta $DBD'$ su $|DD'|=a$, $|BD|=a\sqrt2$ i $|BD'|=a\sqrt3$ pa je

$$\cos\varphi=\frac{|BD|}{|BD'|}=\frac{\sqrt6}3.$$

Napomena. Može se izračunati $\cos\varphi$ i pomoću formule

$$\cos\varphi=\frac{P_{ABCD}}{P_{\min}}=\frac{a^2}{\dfrac{a^2\sqrt6}2}=\frac{\sqrt6}3.$$