3. Zadatak

U svakom retku imamo redom $1,3,5,7,\ldots,2k-1$ brojeva. To znači da je u $k$-tom retku prvi broj $k$, a posljednji broj je $k+2k-2=3k-2$. Srednji broj u retku je aritmetička sredina prvog i posljednjeg broja u retku, a to je

$$\frac{k+3k-2}{2}=\frac{4k-2}{2}=2k-1.$$

Dakle, u $k$-tom retku su redom brojevi

$$k,\ k+1,\ k+2,\ k+3,\ldots,\ 2k-1,\ldots,\ 3k-3,\ 3k-2.$$

Označimo njihov zbroj sa $S$ i zapišimo ga jednom u rastućem, a jednom u padajućem poretku:

$$\begin{aligned} S&=k+(k+1)+(k+2)+\ldots+(3k-4)+(3k-3)+(3k-2),\\ S&=(3k-2)+(3k-3)+(3k-4)+\ldots+(k+2)+(k+1)+k. \end{aligned}$$

Zbrojimo li ove dvije jednakosti, dobivamo:

$$2S=(4k-2)+(4k-2)+(4k-2)+\ldots+(4k-2)+(4k-2)+(4k-2),$$

odnosno $2k-1$ puta isti pribrojnik. Tada je $2S=(2k-1)(4k-2)$ ili

$$S=\frac12(2k-1)\cdot2\cdot(2k-1)=(2k-1)^2$$

što je i trebalo dokazati.

Napomena. Ako učenik primijeni formulu za zbroj $n$ uzastopnih brojeva, priznati predviđene bodove za izračunavanje traženog zbroja.