5. Zadatak

Prvo rješenje.

Spustimo visinu $MN'$ iz točke $M$ na stranicu $AB$. Vrijedi da je $|MN'|=\frac12|CN|$.

Trokuti $BNP$ i $BN'M$ su slični. Slijedi da je

$$\frac{|BP|}{|PN|}=\frac{|BM|}{|MN'|}=\frac{|CN|}{|MN'|}=2$$

što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Produljimo li dužinu $BM$ preko točke $M$ za duljinu težišnice do točke $D$, dobit ćemo paralelogram $ABCD$. Tada je kut $\angle CDP=\angle NBP$, a kut $\angle BPN=\angle DPC$ pa su trokuti $BPN$ i $DPC$ slični. Njihove stranice su proporcionalne pa vrijedi

$$\frac{|BP|}{|DP|}=\frac{|PN|}{|PC|}.$$

Nadalje,

$$\frac{|BP|}{2|BM|-|BP|}=\frac{|PN|}{|CN|-|PN|}.$$

Kako je $|BM|=|CN|$, vrijedi

$$\frac{|BP|}{2|CN|-|BP|}=\frac{|PN|}{|CN|-|PN|},$$

a odatle

$$|BP|\cdot|CN|-|BP|\cdot|PN|=2|PN|\cdot|CN|-|BP|\cdot|PN|.$$

Odatle slijedi tvrdnja zadatka $|BP|=2\cdot|PN|$.