7. Zadatak

$$x^{2-\log_a^2x-\log_a(x^2)}-\frac1x>0$$ $$x^{2-\log_a^2x-\log_a(x^2)}>\frac1x$$

Kako je baza $x>1$, slijedi

$$2-\log_a^2x-2\log_ax>-1.$$

Dobivamo nejednadžbu

$$\log_a^2x+2\log_ax-3<0.$$

Slijedi

$$-3<\log_ax<1,$$

odakle slijede dvije mogućnosti:

1°) Za $a>1$ je $a^{-3}<x<a$.

Kako je $a>1$, onda je $a^{-3}<1$ pa zajedno s $x>1$ dobivamo $x\in\langle1,a\rangle$.

2°) Za $0<a<1$ je $a^{-3}>x>a$, odnosno $a<x<a^{-3}$.

Kako je $a<1$, onda je $a^{-3}>1$ pa zajedno s $x>1$ dobivamo $x\in\langle1,a^{-3}\rangle$.