8. Zadatak

Nakon kvadriranja zadanih jednakosti dobijemo:

$$9\sin^2\alpha+24\sin\alpha\cos\beta+16\cos^2\beta=36$$ $$16\sin^2\beta+24\sin\beta\cos\alpha+9\cos^2\alpha=1$$

Ove jednakosti zbrojimo i dobivamo

$$9(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+24(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha)+16(\sin^2\beta+\cos^2\beta)=37$$ $$24\sin(\alpha+\beta)=12$$ $$\sin(\alpha+\beta)=\frac12$$

Slijedi da je $\alpha+\beta=30^\circ$ ili $\alpha+\beta=150^\circ$.

Ako je $\alpha+\beta=30^\circ$, onda je $\alpha<30^\circ$ i $\sin\alpha<\frac12$, što je u kontradikciji s prvom jednakosti. Naime,

$$3\sin\alpha+4\cos\beta<3\cdot\frac12+4<6$$

te prva jednakost ne bi bila zadovoljena.

Dakle, $\alpha+\beta=150^\circ$ pa je $\gamma=30^\circ$.