1. Zadatak

Neka je traženi broj $\overline{abcd}$. Vrijedi $$\overline{abcd}=45\cdot x,$$ $$b^2-c^2=24.$$ Kako umnožak $45\cdot x$ završava znamenkom 0 ili 5, broj $\overline{abcd}$ je oblika $\overline{abc0}$ ili $\overline{abc5}$.

Iz $b^2-c^2=24$ slijedi $(b-c)(b+c)=24$ i $b,c\in\{0,1,2,\ldots,9\}$, $b<c$.

Kako je $b+c<18$, možemo broj 24 zapisati u obliku umnoška brojeva: $$2\cdot12,\quad3\cdot8\quad\text{i}\quad4\cdot6.$$ Tada je

(a) $$(b-c)(b+c)=2\cdot12\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}b-c=2\\b+c=12\end{cases}$$ odnosno $b=7$, $c=5$,

(b) $$(b-c)(b+c)=3\cdot8\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}b-c=3\\b+c=8\end{cases}$$ pa $b,c\notin\{0,1,2,\ldots,9\}$,

(c) $$(b-c)(b+c)=4\cdot6\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}b-c=4\\b+c=6\end{cases}$$ odnosno $b=5$, $c=1$.

Mogući oblici brojeva $\overline{abcd}$ sada su $\overline{a750}$, $\overline{a510}$, $\overline{a755}$ ili $\overline{a515}$.

Svaki od tih brojeva djeljiv je s 5, a da bi bio djeljiv s 45 mora još biti djeljiv i s 9. Zbroj znamenaka svakog od brojeva mora biti djeljiv s 9.

Za $\overline{a750}$ zbroj znamenaka je $a+7+5+0=a+12$, što uz $a\in\{1,2,3,\ldots,9\}$ daje $a=6$.

Za $\overline{a510}$ zbroj znamenaka je $a+5+1+0=a+6$ pa je $a=3$.

Za $\overline{a755}$ zbroj znamenaka je $a+7+5+5=a+17$ pa je $a=1$.

Za $\overline{a515}$ zbroj znamenaka je $a+5+1+5=a+11$ pa je $a=7$.

Dakle, traženi brojevi su 6750, 3510, 1755 i 7515.