4. Zadatak

U trapezu $ABCD$ s okomitim dijagonalama poznate su duljine osnovica $|AB|=a=4$ , $|DC|=c=3$ . Ako krak $\overline{BC}$ s osnovicom $a$ zatvara kut $60^\circ$ , kolika je njegova duljina?

Rješenje

Prvo rješenje.

Trapez s okomitim dijagonalama i paralelom kroz vrh C

Povučemo li paralelu s dijagonalom $BD$ kroz vrh $C$ i točku presjeka usporednice i produžetka stranice $AB$ označimo s $E$ , dobit ćemo pravokutan trokut $AEC$ čija je hipotenuza duljine $a+c$ , a katete su dijagonale $AC$ i $BD$ $(|EC|=|BD|)$ . Tada je po Pitagorinom poučku $|AC|^2+|BD|^2=(a+c)^2$ odnosno $e^2+f^2=49$ .

Dijagonale ćemo računati primjenom kosinusovog poučka na trokute $ABC$ i $BCD$ . Tada je $4^2+b^2-2\cdot4\cdot b\cos60^\circ+3^2+b^2-2\cdot3\cdot b\cos120^\circ=49$ što daje kvadratnu jednadžbu $2b^2-b-24=0$ čije je pozitivno rješenje $b=\frac{1+\sqrt{193}}4$ .

Drugo rješenje.

Zadatak možemo riješiti i vektorski, primjenom skalarnog umnoška. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b$ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\vec b+\vec c$ Kako su vektori $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{BD}$ okomiti, njihov je skalarni umnožak nula. $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c=0$ $|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos120^\circ+|\vec a|\cdot|\vec c|\cdot\cos180^\circ+|\vec b|\cdot|\vec b|\cdot\cos0^\circ+|\vec b|\cdot|\vec c|\cdot\cos60^\circ=0$ $4b\cdot(-0.5)+4\cdot3\cdot(-1)+b^2+3b\cdot(0.5)=0$ $2b^2-b-24=0.$ Dakle, $b=\frac{1+\sqrt{193}}4$ .