5. Zadatak

Prvo rješenje. Zadatak rješavamo koristeći vektore. Dana jednakost ekvivalentna je sljedećoj $$\overrightarrow{AC}^{2}+\overrightarrow{BD}^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{BC}^{2}+\overrightarrow{CD}^{2}+\overrightarrow{DA}^{2},\quad\text{tj.}$$ $$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)^2+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)^2=\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{BC}^{2}+\overrightarrow{CD}^{2}+\overrightarrow{DA}^{2}.$$ Odavde redom dobivamo: $$2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DA}^{2}-\overrightarrow{BC}^{2}$$ $$2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)^2-\overrightarrow{BC}^{2}$$ $$2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=|\overrightarrow{DC}|^2+|\overrightarrow{BA}|^2+2\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BA}$$ Slijedi $$0=|DC|^2+|BA|^2+2\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{BA},$$ odnosno $\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CD}\right)^2=0$, odakle je $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.

Time smo dokazali da je $ABCD$ paralelogram.

Drugo rješenje.

Smjestimo četverokut u koordinatni sustav tako da je $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(u,v)$, $D(p,q)$.

Izračunat ćemo kvadrate udaljenosti: $$|AC|^2+|BD|^2=|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2$$ $$u^2+v^2+(p-a)^2+q^2=a^2+(v-a)^2+v^2+(p-u)^2+(q-v)^2+p^2+q^2.$$ Nakon provedenog kvadriranja dobivamo: $$a^2+p^2+q^2+u^2+v^2-2ua+2pa-2pu-2vq=0$$ $$(q^2-2vq+v^2)+(a^2+p^2+u^2+2ap-2au-2pu)=0$$ $$(q-v)^2+[a-(u-p)]^2=0$$ Ovo je moguće jedino ako je $q=v$, $a=u-p$. $(*)$

Sada je $A(0,0)$, $B(u-p,0)$, $C(u,v)$ i $D(p,v)$.

Izračunajmo koordinate polovišta dužine $\overline{AC}$ i polovišta dužine $\overline{BD}$. $$P_{AC}=\left(\frac u2,\frac v2\right),\quad P_{BD}=\left(\frac{u-p+p}2,\frac v2\right)=\left(\frac u2,\frac v2\right).$$ Kako se polovišta podudaraju, dijagonale danog četverokuta se raspolavljaju pa je četverokut paralelogram.

Da je dani četverokut paralelogram, može se zaključiti iz $(*)$ i tako da se uoči:

udaljenost $|AB|=|CD|=a$ te $|AD|=|BC|$, a pravci $AB$ i $CD$ su paralelni (koeficijent smjera je 0), kao i pravci $AD$ i $BC$ (koeficijent smjera je $\frac vp$).