8. Zadatak

Stranice trokuta $APQ$ označimo s $x,y,z$. Njihove duljine računamo koristeći Pitagorin poučak:

$$\begin{aligned} x^2&=a^2+\frac1{16}a^2,&x&=\frac{\sqrt{17}}4a,\\ y^2&=\frac9{16}a^2+\frac1{16}a^2,&y&=\frac{\sqrt{10}}4a,\\ z^2&=a^2+\frac9{16}a^2,&z&=\frac54a. \end{aligned}$$

Napomena: dovoljno je izračunati dvije stranice $y$ i $z$.

Najdulja visina je na najkraću stranicu, a najkraća visina je na najdulju stranicu. Računat ćemo ih koristeći površinu trokuta $APQ$:

$$P=a^2-\frac12\cdot\frac14a\cdot a-\frac12\cdot\frac34a\cdot\frac14a-\frac12\cdot\frac34a\cdot a =\frac{13}{32}a^2.$$

Tada je najkraća visina

$$v_z=\frac{2P}{z} =\frac{2\cdot\frac{13}{32}a^2}{\frac54a} =\frac{13}{20}a,$$

a najdulja visina

$$v_y=\frac{2P}{y} =\frac{2\cdot\frac{13}{32}a^2}{\frac{\sqrt{10}}4a} =\frac{13}{4\sqrt{10}}a =\frac{13\sqrt{10}}{40}a.$$