2. Zadatak

Prvo rješenje.

Koristimo trigonometrijske identitete $$\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2\quad\text{i}\quad\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2.$$ Zadana jednadžba postaje $$(1-\cos(2x))^4+(1+\cos(2x))^4=16.$$ Korištenjem binomnog teorema dobivamo: $$\begin{aligned} &1-4\cos(2x)+6\cos^2(2x)-4\cos^3(2x)+\cos^4(2x)\\ &\quad+1+4\cos(2x)+6\cos^2(2x)+4\cos^3(2x)+\cos^4(2x)=16, \end{aligned}$$ odnosno $$\cos^4(2x)+6\cos^2(2x)+1=8.$$ Nakon uvođenja supstitucije $t=\cos^2(2x)$, dobivamo jednadžbu $$t^2+6t-7=0.$$ Njezina rješenja su $t_1=-7$ (ne zadovoljava jer mora biti $0\le\cos^2(2x)\le1$) i $t_2=1$.

Stoga imamo $\cos^2(2x)=1$ tj. $\cos(2x)=\pm1$.

U slučaju $\cos(2x)=1$, rješenja su $x=k\pi$, gdje je $k$ bilo koji cijeli broj,

a u slučaju $\cos(2x)=-1$, rješenja su $x=\frac\pi2+k\pi$, gdje je $k$ bilo koji cijeli broj.

Rješenja se mogu zapisati u obliku $x=k\cdot\frac\pi2$, $k\in\mathbb Z$.

Drugo rješenje.

Vrijedi $$\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2x&=1\qquad /{}^2\\ \sin^4x+\cos^4x&=1-\frac{\sin^2(2x)}2\qquad /{}^2\\ \sin^8x+\cos^8x&=\left(1-\frac{\sin^2(2x)}2\right)^2-2\sin^4x\cos^4x\\ &=1-\sin^2(2x)+\frac14\sin^4(2x)-\frac18\sin^4(2x)\\ &=1-\sin^2(2x)+\frac18\sin^4(2x). \end{aligned}$$ Zato je polazna jednadžba ekvivalentna sa $$1-\sin^2(2x)+\frac18\sin^4(2x)=1\quad\text{tj.}\quad\sin^2(2x)(8-\sin^2(2x))=0.$$ Odavde slijedi $\sin^2(2x)=0$ ili $\sin^2(2x)=8$ (što nije moguće).

Konačno rješenje je $x=k\cdot\frac\pi2$, $k\in\mathbb Z$.